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March 08, 2007

「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」

電車内で見かけた、某学習塾の広告に、こんな例題が紹介されていました。東大の数学の入試問題ということで、なんでも「今は、論理的思考力が問われている」という話。


円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

え。これって東大で出すほどの問題 ? 中学生でも解けるような...。

論理的かどうかはちょっと疑問だけれど、まあ、機械的に計算問題を解くだけしかできない子には難しいのかな。
東大どころか、理系の大学生ならこれぐらいはすらすら解けて欲しいなぁ。

私なりの解はこんな感じ。あ、学生の人(読んでいたら)は自分でも考えてみて。

「円周率」の定義は、円の周囲の長さ(円周)と直径の長さの比。
円周率をπ、円の半径をr(直径は2r)と置き換えると、円周は「2πr」と表せる。

この円に内接する正n角形の、辺の長さの合計は、nが小さいうちは円周より短く、nが大きくなるにつれて円周の長さに近づいていく。
例えば、正方形(正4角形)の辺の長さの合計は「4√2 r ( = 約 5.65 r)」。

正n角形の辺の長さの合計はnの関数(rは定数扱い)で表され(例えば f(n) と書ける)、「f(n-1) < f(n) かつ、f(n) <= 2πr」(*)である。( = は nが無限大まで大きくなったとき。今回はそういう問題ではない)

今回は、n=N の時点で「3.05 < f(N)/2r < π」であることを示せばいい。
...えーと、n=8 で f(n)/2r = 3.06... だね。終了。

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(*) f(n) = 2nr * sin(2π/2n)

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